.

.

 

 

2 EME PARTIE

EXERCICE 1

On a recensé le nombre d'enfants vivant dans chacun des foyers d'une petite ville.

Nombre d'enfants	0	1	2	3	4	5	6	7
Effectif (foyers)	290	170	155	95	43	27	20	10

1. Calculer le nombre moyen d'enfants m par foyer. 

2. Calculer l'écart type du tableau. 

3. Calculer le pourcentage de foyers dont le nombre d'enfants appartiennent à l'intervalle [m- ; m+]. 

EXERCICE 2

Un pépiniériste a fait l'inventaire des arbustes à vendre, suivant leur hauteur. Les résultats sont classés ainsi:

Hauteurs (cm)	Effectifs
40 à 50	28
50 à 600	34
60 à 800	90
80 à 1000	110
00 à 1400	84
40 à 1600	32
60 à 180	22

1. Dresser le tableau faisant apparaître les effectifs, les fréquences, les effectifs cumulés croissants et les effectifs cumulés décroissants. 

2. Tracer les polygones des effectifs cumulés croissants et décroissants. 

3. Calculer la moyenne et l'écart-type. 

EXERCICE 3

Un mélange de café se compose de 45 % d'arabica et de 55 % de robusta. 
L'arabica coûte 2 euros le kilogramme et le robusta coûte 1,80 euros le kilogramme. 
Calculer le prix du kilogramme du mélange arabica-robusta. 

EXERCICE 4

Une boutique de confection a relevé le montant mensuel de ses ventes :

Montant des ventes  (en francs)	Effectifs  (nombre des ventes)
[0; 300[	127
[300; 600[	82
[600; 900[	90
[900; 1200[	48
[1200; 1500[	33
[1500; 1800[	20
	400

Déterminer 
    a) le montant moyen des ventes; 
    b) l'écart moyen; 
    c) l'écart-type. 
    d) Tracer le polygone des effectifs cumulés croissants ainsi que celui ces effectifs cumulés décroissants. 

EXERCICE 1

1.

 
m = 1,56 
Le nombre moyen d'enfants m par foyer est d'environ 1,56. 

2.

 

EXERCICE 2

1.

L'effectif total est : 28 + 34 + 90 + 110 + 84 + 32 + 22 = 400 
Fréquence₁ = 28/400 × 100 = 7% 
Fréquence₂ = 34/400 × 100 = 8,5% 
Fréquence₃ = 90/400 × 100 = 22,5% 
Fréquence₄ = 110/400 × 100 = 27,5% 
Fréquence₅ = 84/400 × 100 = 21% 
Fréquence₆ = 32/400 × 100 = 8% 
Fréquence₇ = 22/400 × 100 = 5,5%

Hauteurs (cm)	Effectifs	Fréquences (%)	Effectifs cumulés croissants	Effectifs cumulés décroissants
			0	400
40 à 50	28	7	28	372
50 à 60	34	8,5	62	338
60 à 80	90	22,5	152	248
80 à 100	110	27,5	262	138
100 à 140	84	21	346	54
140 à 160	32	8	378	22
160 à 180	22	5,5	400	0

2.

3. 
 

EXERCICE 3

Dans un kilo du mélange on trouve : 
450g d'arabica 
550g de robusta 

450 g d'arabica coûtent : 0,450 × 2 = 0,90 € 
550g de robusta coûtent : 0,550 × 1,80 = 0,99 € 

Le kilogramme de mélange arabica-robusta coûte donc 1,89 € 

EXERCICE 4

a) 
m  564 

b)

écart-moyen = (127+82+90+48+33+20/400)/6 
écart-moyen = 63,34 

c) 
 393,57 

d) Polygone :

Exercice n°1. (correction)

Dans la série statistique ci-contre, deux valeurs ont été effacées

xi	8,2	7,4		6,1	9
yi	15	12,1	16,3		12

On connaît, par contre, le point moyen G par ses coordonnées : x_G =7,5 et y_G =12,6.

Pouvez-vous retrouver les valeurs manquantes ?

Exercice n°2. Ajustement par la droite de Mayer (correction)

Le tableau ci-dessous donne le montant annuel des dépenses du régime général de la Sécurité Sociale, en milliards d’euros de l’année 1991 à l’année 2000.

Année	1991	1992	1993	1994	1995	1996	1997	1998	1999	2000
Rang de l’année xi	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Dépense yi milliards €	147,42	155,35	165,10	170,13	182,33	183,09	189,95	194,83	203,37	222,27

1) a) Dessiner le nuage de points M_i(x_i;y_i) dans un repère orthogonal adapté.

b) Déterminez les coordonnées de G, point moyen de nuage. Placez le point G.

2) Le modèle étudié dans cette question sera appelé « droite de Mayer ».

a) G₁ désigne le point moyen des 5 premiers points du nuage et G₂ celui des 5 derniers points.

Déterminer les coordonnées de G₁ et G₂. Placez ces points sur le graphique précédent et tracez la droite (G₁G₂).

Le point G appartient-il à cette droite ?

b) Donnez l’équation de la droite (G₁G₂) sous la forme y=ax+b

c) Calculez la somme des carrés des résidus pour cet ajustement :   

Exercice n°3. (correction)

Lors d'une étude statistique sur une série double portant sur 12 points, on a obtenu :

x_i=117 ; y_i=22,2 ; x_iy_i=255,8 ; x_i²=1421 ; y_i²=46,74

1) Calculer les coordonnées du point moyen

2) Calculer la variance de x, celle de y, et la covariance de x et y

Exercice n°4. (correction)

Calculez la covariance la série statistique : 

xi	20	25	32	35	40
yi	1,3	2,4	8,5	6,3	12

Exercice n°5. (correction)

On étudie dix sites de commerce électronique en totalisant sur une semaine d’une part le nombre de connexions d’autre part le nombre de commandes.

On a le tableau suivant :

i	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
xi	80	100	115	110	70	125	105	90	110	95
yi	32	50	62	56	8	80	62	50	62	38

i  est le numéro du site, x_i  le nombre de connexions au site i et y_i  le nombre de commandes sur ce site.

1) Tracer le nuage des points associé à la série statistique des deux variables (on fera le tracé sur papier millimétré, le choix des échelles et des translations éventuelles entrera pour une part importante dans la notation).

2) Déterminer le point moyen ; on le reportera sur le graphique

3) Déterminer l’équation de la droite des moindres carrés ; on reportera cette droite sur le graphique (on justifiera la construction).

On s’aidera du tableau :

xi	yi	xi2	yi2	xiyi
1000	500	102500	28600	52850

Exercice n°6. (correction)

L’évolution de la population d’une région entre 1960 et 2000 a permis de construire le tableau suivant :

Année Xi	1960	1970	1980	1990	2000
Population yi en millions	2,5	3	3,6	4,4	5,2

Lorsque X_i  désigne le numéro de l’année, on pose . Une décennie correspond alors à une unité.

1) Construire, à l’aide de ces données, le nuage des points de coordonnées (x_i;y_i ), ainsi que le point moyen.

Les unités graphiques seront de 1 cm pour 1 unité sur l’axe des abscisses et de 1 cm pour 1 million sur l’axe des ordonnées.

2) En première approximation, on peut envisager de représenter la population y comme une fonction affine de l’année x.

a) Déterminer l’équation de la droite d’ajustement de y en x , sous la forme y=ax+b, obtenue par la méthode des moindres carrés

b) Quelle prévision ferait-on avec cette approximation pour la population de la région en l’an 2010 ?

c) En quelle année la population de cette région dépassera-elle 15 millions d’habitants ?

Exercice n°7. (correction)

Lors d'une période de sécheresse, un agriculteur relève la quantité totale (en m³) utilisée par son exploitation depuis le premier jour et donne le résultat suivant :

Nombre de jours écoulés xi	1	3	5	8	10
Volume utilisé (en m3) yi	2,25	4,3	8	17,5	27

Le plan est muni d'un repère orthogonal.

On prendra pour unité sur l'axe des abscisses 1 cm pour 1 jour et sur l'axe des ordonnées 0,5 cm pour 1 m³.

1) Représentez alors la série (x_i;y_i ).

2) Donnez l'équation de la droite  des moindres carrés sous la forme y=ax+b (a et b sont les arrondis à 10^-2 près des valeurs lues sur la calculatrice).

Représentez la droite  sur le graphique.

3) Le nuage de points permet d'envisager un ajustement par la parabole P qui passe par des points A(1;2,25) et B(10;27), et qui a pour équation y=ax²+b où a et b sont deux nombres réels

a) Déterminez a et b et donnez l'équation de la parabole P.

b) Représentez la parabole P sur le graphique.

4) Dans cette question, on compare les deux ajustements à l'aide du tableau suivant :

xi	1	3	5	8	10
yi	2,25	4,3	8	17,5	27
	2,54	0,91	2,71			Total T1 :
	0	0,05	0,25			Total T2 :

Les deux totaux calculés évaluent, pour chaque ajustement, la somme des écarts entre les ordonnées des points du nuage et les ordonnées des points de même abscisse de l'ajustement.

Donnez les arrondis à 10^-1 près des deux totaux T₁ et T₂ calculés ci-dessus.

Déduisez l'ajustement qui paraît le mieux adapté.

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Exercice n°1

Notons x₃ et y₄ les deux valeurs inconnues

Puisque les coordonnées du point moyen G sont égales aux moyennes des séries (x_i) et (y_i), on a donc

 

et 

Exercice n°2

1) a)

 

b) Les coordonnées de G sont : . En rose sur le graphique

2) a) Les coordonnées de G₁ et G₂ sont :

 et 

En jaune sur le graphique

Le point G appartient à (G₁G₂) car  et . Le point G est donc le milieu de [G₁G₂]

b) L’équation de la droite (G₁G₂) est de la forme y=ax+b avec  

D’où on tire b=-a=181,362-6,936x5,5=143,214.

L’équation de (G₁G₂) est donc y=6,396x+143,214

c) Pour cet ajustement, 

(Remarque : si les coefficients sont arrondis à 10^-1 près, alors 

Détail des calculs :

xi	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
yi	147,2	155,35	165,1	170,13	182,33	183,09	189,95	194,83	203,37	222,27	somme
(yi-(6,936xi+143,214))2	8,7025	3,0137	1,16208	0,68558	19,6781	3,0276	3,29786	14,9924	5,14382	94,0124	153,716
(yi-(6,9xi+143,2))2	8,41	2,7225	1,44	0,4489	21,4369	2,2801	2,4025	12,7449	3,7249	101,405	157,016

Exercice n°3

1) Les coordonnées du point moyen G sont  et 

2) On a  à 10^-2 près donc 

De plus  donc  à 10^-2 près

Enfin  à 10^-2 près

Exercice n°4

En revenant à la définition :  et , d’où le tableau :

xi	20	25	32	35	40
yi	1,3	2,4	8,5	6,3	12
xi-	-10,4	-5,4	1,6	4,6	9,6
yi-	-4,8	-3,7	2,4	0,2	5,9
(xi-)(yi-)	49,92	19,98	3,84	0,92	56,64

La covariance est alors égale à

 

En utilisant la formule de Koenig :

 (covariance=moyenne des produits–produit des moyennes),

xi	20	25	32	35	40
yi	1,3	2,4	8,5	6,3	12
xiyi	26	60	272	220,5	480

on calcule 

Exercice n°5

1) Nuage de points : (l’origine des abscisses est 70)

 

2) Le point moyen G a pour coordonnées : ,placé sur le graphique

3) L’équation de la droite  des moindres carrés est de la forme y=mx+p avec  etG

Or .

De plus .

Ainsi, 

Comme G, ses coordonnées vérifient l’équation de , c’est-à-direy_G=mx_G+p50=1,14x100+p donc p=-64,

et l’équation de  est finalement y=1,14x-64.

Pour la tracer, deux points suffisent. On a déjà le point G.

On détermine un autre point, en prenant par exemple x=70=>y=1,14x70-64=15,8 , d’où le point A(70 ; 15,8)

Exercice n°6

1) La série statistique (xi;yi ) est donc xi 6 7 8 9 10 yi 2,5 3 3,6 4,4 5,2 Les coordonnées du point moyenG sont données par

2) a) L’équation de la droite  des moindres carrésest de la forme y=ax+b avec  et G

On utilise la calculatrice

Menu Statistiques, Sous menu édition	Saisie des données statistiques	Menu Statistiques, Sous menu calcul	Sélection du mode (ou ajustement affine) (ou régression linéaire) de la liste 2 (y) en fonction de la liste 1 (x)

On obtient :

 

L’équation de la droite d’ajustement de y en x  est donc y=0,68x-1,7

b) L’an 2010 correspondant à la décennie , une estimation de la valeur de la population, suivant cet ajustement, sera :

y=0,68x11-1,7=5,78 millions d’habitants

c) On résout .

Puisque x, on aura x25

Mais puisque x représente une décennie, on peut affirmer que la population de cette région dépassera 15 millions d’habitants en 1900+25x10=2150.

Exercice n°7 1) Les coordonnées dupoint moyen G sont données par

2) L’équation de la droite  des moindres carrés est de la forme y=ax+b avec  etG

On utilise la calculatrice

Menu Statistiques, Sous menu édition	Saisie des données statistiques	Menu Statistiques, Sous menu calcul	Sélection du mode (ou ajustement affine) (ou régression linéaire) de la liste 2 (y) en fonction de la liste 1 (x)

On obtient :

 

L’équation de la droite d’ajustement de y en x est donc y=2,74x-3,04

3) a) Si le point A(1;2,25) appartient à la parabole P d’équation y=ax²+b, alors les coordonnées de ce point vérifient l’équation de la parabole, c’est-à-dire

2,25=ax1²+ba+b=2,25

De même pour le point B : 27=ax10²+b100a+b=27

On résout donc le système 

L’équation de la parabole est donc y=0,25x²+2

b)

 

4)

xi	1	3	5	8	10
yi	2,25	4,3	8	17,5	27
	2,54	0,91	2,71			TotalT1 : 17,06
	0	0,05	0,25		0

Exercice n°8. (correction)

On étudie la part y_i des naissances hors mariage en France, sur le total des naissances suivant l'année a_i

Année	1985	1990	1991	1992	1993	1994	1995	1996	1997	1998	1999
Naissance en %	19,6	30,1	31,8	33,2	34,9	36,1	37,6	38,9	40	40,7	41,7

Dans un repère orthogonal, on a représenté la série chronologique double (x_i ;y_i ) avecx_i=a_i-1980.

 

1) On se propose de chercher un ajustement affine.

a) Déterminer une équation réduite de la droite de régression de y en x obtenue par la méthode des moindres carrées, avec des coefficients arrondis à 10^-4 près.

A l'aide de cet ajustement, estimer le pourcentage de naissances hors mariage en l'an 2000.

b) En quelle année peut-on penser que le taux de naissances hors mariage deviendra supérieur à 60 %, d'après cet ajustement ?

2) La forme du nuage présentant un ralentissement de la croissance, on effectue un ajustement du nuage par une parabole.

On considère alors la série (z_i ;y_i) avec z_i=(x_i-26)². Donner le tableau des valeurs z_i

a) Déterminer une équation réduite de la droite de régression de y en z avec des coefficients arrondis à 10^-2 près.

b) En déduire une relation entre x et y de la forme y=ax²+bx+c.

3) On pose y=f(x)

a) A l'aide de cet ajustement, estimer le pourcentage de naissance hors mariage en l'an 2003

b) Etudier le sens de variation de la fonction f sur [0;40]. Montrer que f admet un maximum. En donner une interprétation concrète.

Exercice n°9. (correction)

Une entreprise fabrique des fauteuils

Le prix de revient théorique de fabrication se répartit en b € de frais fixes et a € par unité produite, soit b+na pour n unités.

Exprimer en fonction du nombre n d’unités produites le prix de revient théorique y d’une unité

Dans la pratique, on a relevé les chiffres suivants :

Nombre d’unités ni	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Prix unitaire yi	1504	809	540	438	375	320	290	254	231	212

a) Représenter le nuage statistique (n_i ;y_i) (Abscisse : 1 cm pour 1 unité ; ordonnée : 1 cm pour 100 €). Un ajustement affine paraît-il justifié ?

b) On pose . Calculer les valeurs des y_i à 10^-2 près par défaut, puis représenter le nuage (x_i;y_i) sur le même schéma (1 cm pour 0,1 unité).

c) Déterminer une équation de la droite de régression de y en x (le coefficient directeur et le terme constant seront déterminés à l’unité près).

d) En déduire les coefficients a et b.

Exercice n°10. (correction)

Le tableau ci-dessous donne l’évolution du nombre de personnes âgées de plus de 85 ans, en France métropolitaine, de 1950 à 2000.

On note X_i l’année. L’indice i varie de 1 à 11.

Par commodité on pose X_i=x_i-1950. y_i désigne, en milliers, le nombre de personnes âgées de 85 ans ou plus, au 1er janvier de l’année X_i .

Xi	1950	1955	1960	1965	1970	1975	1980	1985	1990	1995	2000
xi	0	5	10	15	20	25	30	35	40	45	50
yi	201	231	290	361	423	498	567	684	874	1079	1267

1) a) Dessiner le nuage de points M_i(x_i ;y_i) associé à cette série statistique, dans un repère orthogonal dont vous préciserez les unités.

b) La forme du nuage suggère-t-elle un ajustement affine ?

2. On pose z = ln y.

a) Compléter la dernière ligne du tableau. Arrondir les résultats au millième.

b) En utilisant la calculatrice, déterminer par la méthode des moindres carrés une équation de la droite d’ajustement de z en x.

Les coefficients seront arrondis au millième.

c) En déduire une modélisation de y en fonction de x sous la forme . (Le réel A sera arrondi à l’unité et le réel B au millième)

3) On admet que la fonction f définie sur l’intervalle[0;70] par :  modélise de façon satisfaisante l’évolution de cette population.

Résoudre l’inéquation f(x)3000 et interpréter ce résultat.

Exercice n°11. l’exercice qui résume tout (correction)

Le tableau suivant donne la dépense, en millions d’euros, des ménages en produits informatiques (matériels, logiciels, réparations) de 1990 à 1999 :

Année	1990	1991	1992	1993	1994	1995	1996	1997	1998	1999
Rang xi de l'année	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Dépense yi	398	451	423	501	673	956	1077	1285	1427	1490

1) a) Dessiner le nuage de points M_i(x_i ;y_i) dans le plan muni d'un repère orthogonal avec, pour unités graphiques 1 cm pour un rang en abscisse, 1cm pour 200 millions d’euros en ordonnée.

b) Déterminez les coordonnées de G, point moyen de nuage. Placez le point G.

2) Le modèle étudié dans cette question sera appelé « droite de Mayer »

a) G₁ désigne le point moyen des 5 premiers points du nuage et G₂ celui des 5 derniers points. Déterminer les coordonnées de G₁ et G₂.

Placez ces points sur le graphique précédent et tracez la droite (G₁G₂).Le point G appartient-il à cette droite ?

b) Donnez l’équation de la droite (G₁G₂) sous la forme y=ax+b (on arrondira les coefficients à 0,1 prés)

c) Calculez la somme des carrés des résidus pour cet ajustement : 

d) En utilisant cet ajustement, effectuer une prévision sur les dépenses de l’année 2005.

3) Ajustement des moindres carrés

a) Donner, à l'aide de la calculatrice, une équation de la droite d'ajustement affine de y en x , sous la forme y=mx+p par la méthode des moindres carrés (les coefficients seront arrondis à 0,1 près).

b) Représenter D dans le repère précédent.

c) Calculez la somme des carrés des résidus pour cet ajustement : . Conclusion ?

d) En utilisant cet ajustement, effectuer une prévision sur les dépenses de l’année 2005.

4) Ajustement logarithmique

La croissance des dépenses semblant « ralentir » entre 1997 et 1999, on envisage un ajustement logarithmique entre 1994 et 1999.

On pose t_i=ln(x_i)

a) Recopier et compléter le tableau suivant où t_i est arrondi est arrondi à 10^-3

ti
yi	673	956	1077	1285	1427	1490

 

 

b) Ecrire une équation de la droite d'ajustement affine de y en t par la méthode des moindres carrés (les coefficients seront arrondis à 10^-3 près).

c) En utilisant cet ajustement, effectuer une prévision sur les dépenses de l’année 2005.

d) Tracer la courbe d’équation y=f(x), où on explicitera l’expression de f

5) Ajustement exponentiel

Si, au contraire de la question 4, on ne s’intéresse qu’aux années 1990 à 1996, la forme du nuage suggère plutôt un ajustement exponentiel.

Pour 0i6, on pose z_i=ln(y_i)

a) Recopier et compléter le tableau suivant où z_i est arrondi est arrondi à 10^-3

xi	0	1	2	3	4	5	6
zi

 

 

b) Ecrire une équation de la droite d'ajustement affine de z en x par la méthode des moindres carrés (les coefficients seront arrondis à 10^-3 près).

c) En utilisant cet ajustement, effectuer une prévision sur les dépenses de l’année 2000.

d) Tracer la courbe d’équation z=g(x), où on explicitera l’expression de g

Exercice n°8

1) a) L’équation de la droite  des moindres carrés est de la forme y=ax+b avec  et G

On utilise la calculatrice, et on obtient : y=1,5379x+13,9923 (coefficients arrondis à 10^-4 près)

L’année 2000 correspondant à x=20, le pourcentages de naissances sera égal ày=1,5379x20+13,992344,75 %

b) D’après cet ajustement, le taux de de naissances hors mariage deviendra supérieur à 60 % lorsque

, c’est-à-dire en 1980+30=2010

2) Les valeurs z_i  sont données dans le tableau suivant :

zi=(xi-26)2	441	256	225	196	169	144	121	100	81	64	49
yi	19,6	30,1	31,8	33,2	34,9	36,1	37,6	38,9	40	40,7	41,7

c) On utilise la calculatrice, pour obtenir y=-0,0563z+44,4101

d) En utilsant la relation z=(x-26)², on obtient :

y=-0,0563(x²-52x+676)+44,4101=-0,0563x²+2,9276x+6,3513

3) a) L’année 2003 correspondant à x=23, le pourcentages de naissances sera égal ày=-0,0563x23²+2,9276x23+6,3513=44,0621 %

b) f étant un trinôme de la forme f(x)=ax²+bx+c avec a < 0 , f est strictement croissante sur  et strictement décroissante sur .

Elle atteint donc son maximum lorsque 

Cela signifie que le pourcentages de naissances hors mariage sera maximumn en 1980+26=2006

Exercice n°9

Le prix de revient théorique y d’une unité vaut 

a) Le nuage (n_i ;y_i) est

 

Un ajustement affine ne semble pas du tout justifié

b) Si on pose , le tableau (n_i ;y_i) à 10^-2 près est alors :

		=0,5	=0,33	=0,25	=0,2	=0,17
yi	1504	809	540	438	375	320	290	254	231	212

 

c) Pour déterminer une équation de la droite de régression linéaire de y en x , on utilise lacalculatrice

Menu Statistiques, Sous menu édition	Saisie des données statistiques	Menu Statistiques, Sous menu calcul	Sélection du mode (ou ajustement affine) (ou régression linéaire) de la liste 2 (y) en fonction de la liste 1 (x)

On obtient :

 

Une équation de la droite de régression linéaire de y en x est donc y=1431x+78

d) En revenant à la variable n, à l’aide de la relation x=, on trouve .

Ainsi a=78 et b=1431

Exercice n°10

1)

 

b) La forme du nuage ne suggère pas d’ajustement affine.

2) a) si on pose z = ln y, le nouveau tableau est

Xi	1950	1955	1960	1965	1970	1975	1980	1985	1990	1995	2000
xi	0	5	10	15	20	25	30	35	40	45	50
yi	201	231	290	361	423	498	567	684	874	1079	1267
z= lny.	5,303	5,442	5,670	5,889	6,047	6,211	6,340	5,628	6,773	6,984	7,144

b) Pour déterminer une équation de la droite de régression linéaire de y en x , on utilise lacalculatrice

Menu Statistiques, Sous menu édition	Saisie des données statistiques	Menu Statistiques, Sous menu calcul	Sélection du mode (ou ajustement affine) (ou régression linéaire) de la liste 2 (y) en fonction de la liste 1 (x)

On obtient :

 

Une équation de la droite de régression linéaire de z en x est donc 

c) Puisque z = ln y, alors y=e^z, et de l’égalité z=0,037x+5,291, on déduit que 

3) 

Puisque x, on aura x74. Le nombre de personnes âgées de plus de 85 ans dépassera les 3 millions vers l’année 1950+74=2224

Exercice n°11

1) a) Le nuage de points M_i(x_i ;y_i) représentant la série statistique double est :

 

b) Les coordonnées de G sont :

(représenté par un triangle sur le graphique)

2) a) Les coordonnées de G₁ et G₂ sont :

 et (représentés par deux carrés sur le graphique)

Le point G appartient à (G₁G₂) car puisque  et , le point G est le milieu de [G₁G₂]

b) L’équation de la droite (G₁G₂) est de la forme y=ax+b avec .

Puisque le point G appartient à la droite (G₁G₂), ses coordonnées vérifient l’équation de cette droite, donc b=-a=868,1-151,56x4,5=186,08

L’équation de (G₁G₂) est donc y=151,6x+186,1, où les coefficients ont été arrondis à 0,1 près

Remarque : Les coefficients ne sont arrondis qu’au moment de la présentation des résultats et surtout pas pendant les étapes intermédiaires de calcul !

c) Pour cet ajustement, . Détail du calcul :

yi	398	451	423	501	673	956	1077	1285	1427	1490
[yi-(151,6xi+186,1)]2	44901,61	12836,89	4395,69	19572,01	14280,25	141,61	349,69	1421,29	789,61	3660,25

d) L’année 2005 correspond à x=15, donc d’après l’ajustement, à une dépense égale ày=151,6x15+186,1=2460,1 millions d’euros

3) a) On utilise la calculatrice

Menu Statistiques, Sous menu édition	Saisie des données statistiques	Menu Statistiques, Sous menu calcul	Sélection du mode (ou ajustement affine) (ou régression linéaire) de la liste 2 (y) en fonction de la liste 1 (x)

On obtient :

 

Une équation de la droite D de régression linéaire de y en x est donc y=139,3x+241,3 (les coefficients ont été arrondis à 0,1 près)

b) Cette droite D passe par le point G

Pour la tracer, un deuxième point est suffisant (prenons l’ordonnée à l’origine : x=0=>y=241,3 )

 

c) Pour cet ajustement, 

détail du calcul :

xi	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
yi	398	451	423	501	673	956	1077	1285	1427	1490
[yi-(139,3xi+241,3)]2	24554,89	4956,16	9389,61	25027,24	15750,25	331,24	0,01	4705,96	5083,69	25

La somme des résidus de cet ajustement étant nettement inférieure à celle du modèle de Mayer, on peut en déduire que pour la période 1990-1999, le modèle « des moindres carrés » est plus pertinent

d) L’année 2005 correspond à x=15, donc d’après l’ajustement, à une dépense égale ày=139,3x15+241,3=2330,8 millions d’euros

4) a)

ti	1,386	1,609	1,792	1,946	2,079	2,197
yi	673	956	1077	1285	1427	1490

 

 

b) On réutilise la calculatrice (il faut changer les valeurs de la liste L1 ou créer une 3^ème liste L3, et sélectionner le mode ajustement linéaire LinReg(ax+b) L3,L2 .

Une équation de la droite de régression linéaire de y en t est doncy=1020,514t-721,139 (coefficients arrondis à 10^-3 près)

c) L’année 2005 correspond à x=15 donc à t=2,708, donc d’après l’ajustement, ày=1020,514x2,708-721,139=2042,413 millions d’euros

d) Puisque t=lnx, on en déduit y=1020,514ln(x)-721,139.

La représentation graphique de la fonction f définie par f(x)=1020,514ln(x)-721,139 est donnée ci-dessous :

 

5) a)

zi

5,986

6,111

6,047

6,217

6,512

6,863

6,981

 

 

b) On réutilise la calculatrice (il faut changer les valeurs de la liste L1 ou créer une 3^ème liste L3, et sélectionner le mode ajustement linéaire LinReg(ax+b) L2,L3.

Une équation de la droite de régression linéaire de z en x est donc z=0,177x+5,857 (coefficientsarrondis à 10^-3 près

c) L’année 2000 correspond à x=10 donc à z=0,177x10+5,857=7,627 et puisque z = lny on a donc  millions d’euros

d) Puisque z = lny , on en déduit . La représentation graphique de la fonction gdéfinie par  est donnée ci-dessous :